放物運動 - ミー1号の秘密基地 - atwiki（アットウィキ）

事の発端

「放物運動の発射してから最高到達点に達するまでの時間ｔを鉛直投げ上げ運動の式で出せるってことは　
　落ちてくる時間も同じなんだから落下運動の式でも同じ数値が出るんじゃね？って思った今日この頃」
　　　tweeted by wisteria_ma

「ですねー（。ｗ。」
　　　tweeted by mie1go

「あってるですか？(´・ω・｀) 　発射から最高到達点までをｔ１
　発射からから着地までをｔ２にしたら２･ｔ１＝ｔ２ですよねよね(´・ω・｀)
　だからｔ２-ｔ１＝ｔ１ですよねよね(´・ω・｀) 」
　　　tweeted by wisteria_ma

「結論は合っていますが、何故そんな事が言えるのか式で証明できると良いですね（。。」
　　　tweeted by mie1go

という事で

斜め上に投げたボールの運動を考える。単純化のため、空気抵抗は無いものとする。
水平方向にx軸（ボールが進む方向を正）をとり、高さ方向にy軸（上向きを正）をとる。

【キーポイント：力学では、まず運動方程式（第2法則）】

　　 $m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$

x軸、y軸方向の速度を、それぞれVx、Vyとし、
それぞれの方向成分について運動方程式を立てる。

x軸方向(水平方向)：　　 $m \frac{dv_x}{dt} = 0$ 　　　･･････(1)

y軸方向(高さ方向)：　　 $m \frac{dv_y}{dt} = -g$ 　　･･････(2)

ここで、mは質量、gは重力加速度を表す。
これら2つの式を時間tで積分すると、

x軸方向(水平方向)：　　 $m v_x = C_1$ 　　　　　　･･････(3)

y軸方向(高さ方向)：　　 $m v_y = -g \, t + C_2$ 　　･･････(4)

となる。ここでC1,C2は積分定数である。
これらの定数を決定するためには、初速度を考えれば良い。つまり、
ボールを投げた瞬間（t=0）ではいくらかの速度(V1,V2)を持っていたはずなので、
その条件を上式に代入すると、

　　 $m v_1 = C_1$ 　　･･････(5)

　　 $m v_2 = C_2$ 　　･･････(6)

を得る。これで積分定数C1,C2は求まった。
従って、式(3),(4)は次のように書き換えられる。

x軸方向(水平方向)：　　 $m v_x = m v_1$ 　　　　　　･･････(7)

y軸方向(高さ方向)：　　 $m v_y = -g \, t + m v_2$ 　　･･････(8)

これらの式の両辺をmで割れば、速度(Vx,Vy)の解を得る。
特に、水平方向に関しては Vx=V1 となり、これは、
水平方向の速度Vxは時間が経っても初速V1（定数）のままで変化しない
という事を意味している。
水平方向には力が与えられていないので、当たり前と言えば当たり前である
（∵第1法則（慣性の法則）が存在するため）。

また、式(8)は高さ方向の速度Vyが時間経過とともにリニアに減少していく事を示している。

さて、速度の解が得られたので、問題がもう解けそうだ。
まず、常識的に考えて、Vyがゼロとなる点はボール軌道の頂点である。
そのときの時刻t1は式(8)より、

　　 $t_1 = \frac{m}{g}v_2$ 　　･･････(9)